声波的叠加原理与干涉

前言

两列或多列声波在同一介质中传播，当它们同时通过同一区域时，它们可以相互穿过，而不会互相干扰。例如，当我们在听音乐会时，来自不同乐器的声波同时传递至我们的耳膜上。叠加原理是一个在物理学中广泛应用的基本原理，尤其在研究波的传播和相互作用时具有重要意义，这一原理适用于在同一介质中同时传播的两列波或多列声波。本文将借助声波的叠加原理，介绍声波的驻波、干涉等现象。

叠加原理

考虑两列声波，它们的声压分别为、，其合成声场的声压为。合成声场的声压满足线性波动方程

\begin{equation} \tag{1} \nabla^{2} p = \frac{1} {c^2} \frac{\partial^{2} p} {\partial t^{2}} \end{equation}

另一方面，声压、也应分别满足线性波动方程

\begin{equation} \tag{2} \nabla^{2}p_1 = \frac{1} {c^2} \frac{\partial^{2} p_1} {\partial t^{2}}, \quad \nabla^{2}p_2 = \frac{1} {c^2} \frac{\partial^{2} p_2} {\partial t^{2}} \end{equation}

将上式两项相加，由于方程是线性的，于是得到

\begin{equation} \tag{3} \nabla^{2} \left( p_1+p_2 \right) = \frac{1} {c^2} \frac{\partial^{2} } {\partial t^{2}} \left( p_1+p_2 \right) \end{equation}

对比式(1)、(3)，同时考虑到声学边界条件是线性的，因此可以得到

\begin{equation} p = p_1 + p_2 \tag{4} \end{equation}

上式的物理意义是：两列声波合成的声压等于每列声波单独作用所致声场的声压之和。这就是线性声场的叠加原理(principle of superposition)。显然，此结论可以推广到多列声波同时存在的情况。

下图的动画演示了两列高斯波脉冲在同一介质中以相反的方向传播时，两列声波相互穿过而不受干扰，总声压是两个单独声波声压之和。

声波的叠加原理示意动画

https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html

平面驻波

下面讨论由两列频率相同，但以相反方向行进的平面波的合成声场。两列平面波的声压分别表示为

\begin{equation} \tag{5a} p_1 = A\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx)}, \quad p_2 = B\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+kx+\beta)} \end{equation}

根据叠加原理，合成声场的声压为

\begin{equation} \tag{5b} p=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx)}+B\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+kx+\beta)} \end{equation}

利用等式，

\begin{equation} 0 = B\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx+\beta)} - B\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx+\beta)} \tag{6} \end{equation}

最终可以得到

\begin{equation} p = \left( A - B \mathrm{e}^{ \mathrm{j} \beta} \right) \mathrm{e}^{ \mathrm{j} (\omega t-kx)} +2B\cos kx \mathrm{e}^{ \mathrm{j} \beta} \mathrm{e}^{ \mathrm{j} \omega t} \tag{7} \end{equation}

上式等式右边的第1项代表一列沿x轴正向传播的声波，其幅值为；第2项代表一种声压幅值与空间坐标相关的声波，且不向外传播。这种声波称为驻波(standing wave)。驻波的声压幅值为

2B\cos kx

。当

\cos kx=n\pi

时，声压幅值最大，称为声压波腹(antinodes)；当

\cos kx=n\pi-\pi/2

，声压幅值为0，称为声压波节(nodes)。

下图的动画演示了两列频率相同的平面波在同一介质中以相反的方向传播时，相互叠加产生的驻波。

驻波的示意动画

https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html

声波的干涉
现在讨论两列频率相同、相位差固定的声波叠加问题。
假设到达声场空间某位置处的两列声波分别为 $\begin{equation} p_1 = P_1 \cos(\omega t + \phi_1), \quad p_2 = P_2\cos (\omega t + \phi_2) \tag{8} \end{equation}$
声波的叠加
根据声波的叠加原理，可以得到该位置处合成声场的声压为
$\begin{equation} p = p_1 + p_2 = P \cos (\omega t + \phi) \tag{9} \end{equation}$ 式中，
$\begin{equation} \begin{gathered} P^2 = P_1^2 + P_2^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\phi_1 - \phi_2) \\ \phi = \arctan \frac{P_1 \sin \phi_1 + P_2\sin \phi_2}{P_1 \cos \phi_1 + P_2 \cos \phi_2} \end{gathered} \tag{10} \end{equation}$

从上式可以发现，合成声场的声压频率不发生变化，声压幅值并不是两列声压的振幅之和，而是与两列声波的相位差相关。

在前文(《声场的能量守恒方程》)中，我们已经知道声压振幅的平方反映了声场中平均能量密度的大小，其关系为

\begin{equation} \bar{w}=\frac{P^2}{2\rho c^2} \tag{11} \end{equation}

因此，合成声场的平均能量密度为

\begin{equation} \bar{w} = \bar{w}_1+\bar{w}_2+\frac{P_1P_2}{\rho_0 c^2}\cos(\phi_1-\phi_2) \tag{12} \end{equation}

式中，、分别表示两列独立声波的平均能量密度。上式表明合成声场的平均能量密度除了与它们各自的平均能量密度相关，还与两列声波的相位差相关。

当两列声波的相位差为0，，，，…时，即两列声波同相位(in phase)，合成声场的声压幅值和平均能量密度为

\begin{equation} \begin{gathered} P = P_1 + P_2,\\ \bar{w}= \bar{w}_1+\bar{w}_2+\frac{P_1P_2}{\rho_0 c^2} \end{gathered} \tag{13} \end{equation}

通常将两列频率相同、同相位声波的干涉称为相长干涉(constructive inter-ference)。

相长干涉示意图

当两列声波的相位差为，，，…时，即两列声波反相位(out of phase)，合成声场的声压幅值和平均能量密度为

\begin{equation} \begin{gathered} P = P_1 - P_2,\\ \bar{w}= \bar{w}_1+\bar{w}_2-\frac{P_1P_2}{\rho_0 c^2} \end{gathered} \tag{14} \end{equation}

通常将两列频率相同、反相位声波的干涉称为相消干涉(destructive inter-ference)。

相消干涉示意图

当两列声波的幅值相同，反相位时，合成声场的幅值为0。主动降噪技术(active noise control)就是利用了该性质。

根据前面的介绍，我们已经知道相干波是指频率相同，相位差固定的声波。而具有不同频率的声波，即使相位差固定，也不能发生声波的干涉(waves interference)现象。

无规相位声波的叠加

前面讨论了相位差固定的声波叠加，然而在实际问题中常常会存在另外一种情形，不同声波的相位是随时间无规则变化的。仍以两列频率相同，但是相位无规变换的声波叠加。它们合成声场的声压仍然与式(10)一致。但是区别在于式中的相位、都随时间无规则变换。此时，合成声场的平均声能密度为

\begin{equation} \bar{w} = \bar{w}_1+\bar{w}_2+\frac{P_1P_2}{\rho_0 c^2}\overline{\cos(\phi_1-\phi_2)} \tag{15} \end{equation}

式中，表示时域内的平均。当平均时间足够长，其值为零。此时，

\begin{equation} \bar{w} = \bar{w}_1+\bar{w}_2 \tag{16} \end{equation}

上式说明两列频率相同且相位无规变化的声波叠加后的声场，其平均声能密度等于每列声波平均声能密度之和，也就是不发生干涉。

本文介绍了声波的叠加原理，并根据叠加原理介绍了声波中的驻波现象、声波的相长干涉现象和相消干涉现象等。

参考文献

杜功焕. 声学基础, 第2版. 南京大学出版社.
David Halliday, Robert Resnick. Fundamentals of Physics. Wiley.

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